數學算板簡介

林保平 Pao-Ping Lin  plin@mathboard.tw

數學算板是一個動態數學軟體程式，是作者退休之後獨立製作的動態數學程式，將之前利用Geometer’s Sketchpad（桌上型程式） 及java Sketchpad（網路程式）上製作的大部分數學物件程式，讀取並融入其中，參閱(林，民95)及 http://mathboard.tw），是以java語言寫成的。軟體設計的主要目標是提供教師數學教學的設計工具，方便教師教室教學。

數學算板包含了幾何畫板、代數算板、動作的龜行幾何（turtle geometry）、機率與統計等部分。原始構想中，幾何畫板重點放在提供動態歐氏平面幾何的基本圖形構圖功能、基本的幾何變換（平移、旋轉、鏡射、放縮）、可變夾角的平面坐標系統及一元函數的平面圖形繪製上。對於國小數學教學，則包含了電腦數算教具、分數教具（圓分割、線段及長條矩形分割、矩形鉛直及水平分割）。代數算板（林，民101）則提供了分數係數的多項式運算、國中階段解方程式的教學流程（如配方法、二元及三元一次聯立方程式的解題流程）在教室教學時的展示工具。龜行幾何則包含了驅使龜前進、後退、左轉、右轉、提筆（不畫線）、下筆（畫線）等動作的指令功能。機率與統計則包含了國中階段各種圖表功能（長條圖、直方圖、圓形圖、次數分配表、相對次數分配及累積次數分配表）、簡單機率實驗工具（黑白球、數轉盤、擲骰實驗）的製作。按參看配方法解一元二次方程式影片。圖1展示轉盤與機率實驗程式畫面。

圖1 轉盤與機率實驗畫面

由於早期物件作品包含了立體的正多面體及其展開圖的製作，因此幾何畫板中也加入動態立體坐標架系統（可使用滑鼠自由旋轉）及3D構圖的功能，3D構圖功能與原來的2D構圖融合，使用的仍是java 2D繪圖功能。我們內建的3D系統，將所有2D的點都看成z=0的3D點。在此3D系統中，我們建立了可以旋轉的3D坐標架，3D坐標架上製作的3D物件，可隨立體坐標架旋轉。3D坐標架上的平面圖形，也可以透過基軸變換由平面轉換過去。我們也建立了正多面體、阿基米德多面體、輪環多面體頂點製作程式，選取後可選擇製作多面體、球面多面體或輪環面多面體，也提供了多面體展開圖的製作工具（林，民107）。

幾何畫板除了歐氏幾何之外，也內建了與歐氏幾何構圖相應的雙曲幾何圓盤模型(disk model)基本構圖及變換的功能，對他種平面雙曲幾何模型也提供了構圖的對照機制（林，民106）。相應於多面體，也完成了雙曲多面體球模型(sphere model)中的雙曲正多面體、雙曲阿基米德多面體、雙曲正直角柱及雙曲反向直角柱的作圖功能（林，民107a，民107b)。圖2展示三個雙曲多面體。按鈕可看到這些雙區多面體的動畫，任意雙曲正多面體及雙曲阿基米德多面體都有內建的程式。

圖2 3D球模型的三種雙曲多面體圖形

對於函數的圖形表徵，我們建立了一元及二元實函數及一元函數的迴轉體繪圖功能，也有2D及3D的參數函數繪圖程式。部分繪圖程式也加入了常參數，可以在輸入函數時，同時將常數設為參數，繪圖之後，可作動態的常參數模擬。

對於複數及複函數的圖形表徵，我們也製作了許多相關的內建繪圖功能（林，民109，民110））。除了複數的分數四則運算算器及相關的四則圖形表徵外，如基本複數在複數平面的點、向量及其運算之圖形表徵，複變函數映射觀點的z-平面、w-平面，複變函數的景觀式繪圖、複變函數圖形表徵視為四維空間物件在三維空間上的投影、複變函數的定義域角繪圖在平面、空間及黎曼球面上的圖形表徵，對向量場的圖形表徵、等位線、流線也有一些內建程式。

對於莫必烏斯帶及輪環結我們也製作了一些程式（林，民109）。

對於三維空間物件的投影、截面、四維空間物件，四維正方體的展開、或其他四維正多面體體的旋轉，投影在三維空間上的二維展示數學算板也有內建的程式（林，民112），圖3展示的是四維正方體的旋轉與展開，投影至三維空間的動畫程式截圖，按鈕參看到四維正方體框架的雙旋轉，按鈕可看到四維正方體展開的動畫影片。

圖3 四維正方體的展開截圖

對於互動式線性代數，我們也建立了矩陣設定及運算按鈕、矩陣與圖形互動設定按鈕工具箱，圖4展示工具箱及矩陣運算結果畫面。

圖4  數學算板中互動式線性代數程式畫面

按鈕播放互動式線性代數利用最小平方法取得最佳近似曲線（迴歸曲線）的影片。

     數學算板對四維空間的霍普夫纖維化（Hopf Fibration）也做了一些圖形的探索（林，in press），圖5展示上霍普夫纖維化的探索程式，圖中，球面上封閉曲線（圓）上的點（右圖），其霍普夫映射的反像，投影至三維空間得到輪環面（中圖）。按鈕播放介紹霍普夫纖維化的一個影片。

圖5  上霍普夫纖維化的探索程式

數學算板計畫的目標是提供創作工具，協助數學教師透過選單及構圖功能，建立在教室教學可直接展示運用或引領學生操作探索的電腦教具學具程式（林，民89），使用者不必使用程式語言。為方便教學流程的控制，數學算板也提供了豐富的按鈕系統，透過各種按鈕的排列組合，教師可將教學設計的內容作適當的流程安排。提供的數學內容，中小學至大學的數學題材都盡力融入，目前在 http://mathboard.tw 有提供測試版供有興趣的讀者測試，希望對各階層教師的教學有幫助。數學算板的相關影片參看 https://www.youtube.com/@mathboardtw/ 

參考文獻

林保平（in press） 四維空間霍普夫纖維化圖形探索在數學算板上的實踐，科學教育月刊。

林保平（民112） 四維空間初探在數學算板中的實踐，數學傳播季刊，第47卷第4期,pp53-67。

林保平 （民111）延伸的多元輾轉相除法直式算則補遺，科學教育月刊，第451期，pp12-32。

林保平 （民110）複數及複變函數的圖形表徵在數學算板中的實踐（下），數學傳播季刊，第45卷，第1期，pp64-83。

林保平 （民109）莫必烏斯帶切割及輪環結的動態電腦圖形製作在數學算板上的實踐，科學教育月刊，第434期，pp15-36。

林保平 （民109）複數及複變函數的圖形表徵在數學算板中的實踐（上），數學傳播季刊，第44卷，第4期，pp65-77。

林保平 （民107b）多面體的生成及動態模型製作在數學算板上的實踐(下) ，科學教育月刊，第413期，pp2-14。

林保平 （民107a）多面體的生成及動態模型製作在數學算板上的實踐(上) ，科學教育月刊，第412期，pp31-49。

林保平 （民107） 透過動態的函數迭代系統觀察莫必烏斯變換分類的不變圖形 ，數學傳播季刊，第42卷，第2期，pp71-89。

林保平 （民106） 數學算板中碎形觀察及探索的工具 ，科學教育月刊，第403期，pp2-18。

林保平 （民106） 雙曲幾何基本構圖及變換在數學算板中的實踐與應用 ，科學教育月刊，第402期，pp16-37。

林保平 （民101） 代數算板及其在代數教學上的應用，中等教育季刊，第63卷第3期，  pp137-144。

林保平 (民95). JavaSketchpad編輯器在數學科教具學具環境設計上的應用，科學教育月刊，第290期，pp48-57。

林保平 (民89). 教具學具觀點的數學科電腦輔助教學設計實例，科學教育研究與發展，第二十期，pp29-46.。