機率與統計簡介

Statistics and Probability

數學算板（MathBoard）程式提供了許多國中小統計（Statistics）與機率（Probability）的題材，本文對相關的題材作一簡單介紹。

一、製作統計圖

本模組可輸入資料，由電腦製作統計圖形。表格中的資料可透過ctrl-C（複製）及ctrl-S（儲存）與Excel 的表格互通。下圖為模組程式標題及圓形圖1的實例資料表。

第一列的輸出入欄及按鈕功能依次說明如下：（輸入欄輸入數值後，按Enter 以確定輸入完成）

圖形樣式選框	可下拉選框，選取所欲繪圖的樣式：圓形圖1、圓形圖2、立體圓形圖、長條圖、立體長條圖、折線圖、XY圖、盒狀圖。圓形圖的資料形式名稱為：數值1、百分比、圓心角角度。長條圖、折線圖的資料名稱為：數值1、數值2、數值3、數值4。 XY圖的資料名稱為：X，Y1、Y2、Y3。盒狀圖的資料名稱為：甲、乙、丙、丁。
資料名稱類別數（資料序號數）	如上圖有6類名稱資料（資料列數）。
資料數量類別數	如上圖有1類數量資料（資料行數）。圖中的百分比、圓心角度不是原始資料而是有數值1資料算出的數值。
統計	按鈕後，模組將原始資料下方，計算各組數量的最大值、最小值、全距、和、中位數、眾數、平均數、平均差、變異數、標準差、四分位數1，四分位數2、四分位數3、四分位數4.
清除	清除畫面上的所有的資料及計算結果。
下載	開啟延伸檔名為「.sta」的數值資料檔。
存檔	將目前畫面資料類別及資料存為延伸檔名為「.sta」的資料檔，以供以後讀取。
圖方向	改變秀圖時，圖形的方向。
秀圖	呈現目前資料的統計圖形。
資料值下限	隨機資料輸入時，資料值的下限。
資料值上限	隨機資料輸入時，資料值的上限。

表格第一列（灰色列）的功能：

單擊時，若為資料欄，會依上下限自動輸入隨機資料，若為計算欄會根據資料數值計算該攔。滑鼠右擊時，資料欄會由小至大自動排序，計算欄不變。

數值、X、Y、甲、乙、丙、丁等欄下方的表格，均可輸入任意數值。

下圖為立體圓形圖及立體長條圖形的實例。

二、資料處理

本模組可輸入資料，並處理資料。表格中的資料可透過ctrl-C（複製）及ctrl-S（儲存）與Excel 的表格互通。下圖為模組程式標題及資料表（一）的實例。

資料表（一）的表格全部是資料，資料表（二）中，只有第二欄「原始資料」下方的表格為資料，資料可以手動輸入。模組的輸出入欄及按鈕功能依次說明如下：（輸入欄輸入數值後，按Enter 以確定輸入完成）

下載資料	開啟延伸檔名為「.sta」的數值資料檔，置於資料表。
儲存資料	將目前資料表資料存為延伸檔名為「.sta」的資料檔，以供以後讀取。
資料數量	隨機輸入資料時，資料的數量。
隨機資料	按鈕後，模組將自動依上述「資料數量」，下述「資料下限」、「資料上限」填入資料，在資料表（一），數值是到小數點第一位；在資料表（二），資料為整數值。
資料下限	隨機輸入資料時，資料的最小值。
資料上限	隨機輸入資料時，資料的最大值。
清除	按鈕後，模組將第一欄之外的表格數值全部清除。
排序	將資料由小到大依序排列，排序在資料表（一）是由左到右，由上而下，在資料表（二）是原始資料欄，由上而下。
次數分配表	按鈕後，會將目前資料表的資料，並呈現「資料分佈及統計」視窗，內含次數分配表及統計結果。
傳送資料	按鈕後，會將目前資料表的資料，再次傳送至次數分配表。（當修改資料時，可更新次數分配表）

下圖是資料表（二）的標題及欄位名稱實例。

原始資料	單擊本欄，會依上下限自動全部或將選取的部分輸入隨機資料。右擊此欄，會輸入類似常態分配的資料。
資料排序	單擊本欄，將原始資料在此欄由小到大排序，並會顯示次數於次數欄。
累積次數	單擊本欄，計算資料的累積次數。
百分比	單擊本欄，輪換顯示 ≦ 或＜該資料之資料數的百分比。

三、資料分佈（Data Distribution）與統計

本模組包含次數分配表及統計結果。下圖為模組程式標題及次數分配表實例。

次數分配表的原始資料來自資料處理模組，也可以由使用者自由填入次數、累積次數、相對次數、累積相對次數欄下方的輸入格。資料可以手動輸入。模組的輸出入欄、按鈕功能、及欄位名稱依次說明如下：（輸入欄及表格輸入數值後，按Enter 以確定輸入完成）

資料數量	隨機輸入次數資料時，資料的總數量。若資料由「資料處理」模組傳入，展示的是傳入的資料數量。
隨機次數	按鈕後，依前述「資料數量」隨機輸入次數。
資料下限	隨機輸入資料時，資料的最小值。
資料上限	隨機輸入資料時，資料的最大值。
組數	將目前資料分組的組數，內定分成十組。
清除	將畫面中的次數、累積次數、相對次數、累積相對次數全部清除。
隨機資料	按鈕後，模組將自動依上述「資料數量」，下述「資料下限」、「資料上限」填入資料，在資料表（一），數值是到小數點第一位；在資料表（二），資料為整數值。
資料下限	隨機輸入資料時，資料的最小值。
資料上限	隨機輸入資料時，資料的最大值。
清除	按鈕後，模組將第一欄之外的表格數值全部清除。
次數圖的樣式選項	可以選擇呈現「次數分配圖」圖形的樣式為長條圖或折線圖。
範圍(<)	本欄為分組的範圍，單擊本欄位名稱，會輪換呈現兩種型式的範圍表示方法，只呈現兩端點，或使用不等式。
次數	本欄為次數欄，單擊本欄位名稱，會呈現目前資料分組的次數。按前述「隨機次數」鈕，模組將隨機填入各組次數。右擊本欄位名稱，模組將依前述次數圖樣式呈現「次數分配圖」。
累積次數	本欄為累積次數欄，單擊本欄位名稱，會呈現目前資料分組的次數。右擊本欄位名稱，模組將呈現「累積次數分配圖」。
相對次數	本欄為相對次數欄，單擊本欄位名稱，會呈現目前資料分組的相對次數。右擊本欄位名稱，模組將呈現「相對次數分配圖」。
累積相對次數	本欄為累積相對次數欄，單擊本欄位名稱，會呈現目前資料分組的累積相對次數。右擊本欄位名稱，模組將呈現「累積相對次數分配圖」。

下圖為模組程式標題及統計結果實例。

統計公式	單擊本欄，會依上下限自動全部或將選取的部分輸入隨機資料。右擊此欄，會輸入類似常態分配的資料。
計算	按鈕後，將計算出所有的統計結果。
盒狀圖	按鈕後，將呈現。
最小值	呈現資料中的最小值。
最小值	呈現資料中的最大值。
全距	呈現資料中的最大值與最小值的差。
眾數	呈現資料中出現次數最多的數（可能不只一個）。
中位數	若資料數為奇數，呈現資料排序後中間的數。若資料數為偶數，呈現中間兩數的平均值。
平均數	呈現所有資料的平均數。平均數是資料總和除以資料數量而得的數值。
平均差	按鈕後，將呈現各資料值與其平均數的絕對離差的平均值。
變異數	按鈕後，將呈現各資料值與其平均數離差平方的平均值。
標準差	按鈕後，將呈現變異數的平方根。
四分位數1	按鈕後，將呈現資料排序後第四分之一個數的值。設資料數為N，將資料排序，若N/4 為整數，則以第N/4 個數及次一個數的平均值作為四分位數1（第一四分位數）；若N/4不為整數，則以下一個數（第[N/4]+1個數）為第一分位數。
四分位數2	按鈕後，將呈現資料排序後第四分之二個數的值。設資料數為N，將資料排序，若N/2 為整數，則以第N/2 個數及次一個數的平均值作為四分位數2（第二四分位數）；若N/2不為整數，則以下一個數（第[N/2]+1個數）為第二分位數。此種取法第二四分位數就是中位數。
四分位數3	按鈕後，將呈現資料排序後第四分之三個數的值。設資料數為N，將資料排序，若3N/4 為整數，則以第3N/4 個數及次一個數的平均值作為四分位數3（第三四分位數）；若3N/4不為整數，則以下一個數（第[3N/4]+1個數）為第三分位數。

設資料個數為N，將資料排序，若p*N/100 為整數，則以第p*N/100 個數及次一個數的平均值作為第 p 百分位數；若p*N/100不為整數，則以下一個數（第[p*N/100]+1個數）為第 p 百分位數。

四、轉盤實驗（Spinner Experiments）

本程式呈現可旋轉、可重新分割的轉盤（分割大小可以不同），透過分割的大小，探討何一分割出現的機會比較大，探索古典機率的基本原理，並可取得機實驗的程式，做機率實驗。下圖為程式畫面：

按鈕及輸出入框說明如下：

轉盤模擬	按鈕後，模擬轉盤旋轉，再按鈕則停止。
設定（完成）	按鈕「設定」，會呈現紅點，可移動紅點改變分隔的大小；按鈕「完成」後，紅點隱藏。若有取得轉盤實驗程式，分隔的大小會呈現在轉盤機率實驗程式上。
分隔數輸入框	可輸入轉盤分隔的數量，輸入後要按Enter以確定完成輸入，輸入後。預設其分隔大小相等。
轉盤實驗	取得轉盤的「機率實驗」程式。

可移動圖中紅點「速」，改變旋轉的速度。線段愈長，速度越慢。

五、黑白球實驗（Black and White Ball Experiments）

本程式呈現兩組可取得黑白子的畫面，可探索古典機率的基本原理，並可取得機實驗的程式，做機率實驗，透過兩組不同的黑白球數量配置，可與學生探討由兩組方框中取出黑球（或白球的機會哪）一組大，探討機率的成因。程式畫面如下圖：

歸位	按鈕後，將黑白球全部歸回原位。
黑白球實驗	取得黑白球機率實驗程式。
黑白球輸出入框	兩組輸出入框，可以分別輸入黑白球個數，輸入後按 Enter，程式會移動指定的黑白球個數至相應的方框內。使用者也可以直接用滑鼠抓取黑白球放置於方框內，輸出入框會對應呈現方框內的黑白球數量。若已經取得黑白球的「機率實驗」模組，模組中也會呈現相同的數量。

六、機率實驗（Probability Experiments）

本模組提供機率實驗的工具，可做擲骰實驗、次數實驗、轉盤實驗、及黑白球實驗，可以獨立運作，或自「轉盤程式」或「黑白球程式」中開啟，以配合運作。下圖為標題、輸出入框、按鈕及實驗實例。

其功能說明如下：

機率實驗選擇框	機率實驗有四種：擲骰實驗、次數實驗、轉盤實驗、及黑白球實驗。可指定最大點數、實驗次數進行實驗。由電腦模擬擲骰子，觀察各面（或各點數）出現的次數，計算其實驗機率及理論機率。
擲骰實驗	模擬擲骰子的實驗，可以指定各面的權數，觀察各面出現次數，多次實驗後，計算其實驗機率及理論機率。
次數實驗	模擬投擲骰子至各面都至少出現一次，多次實驗後，觀察其理論平均次數及實驗平均次數。
轉盤實驗	配合動態轉盤程式，可由本模組設定轉盤的圓心角度，或透過「轉盤程式」畫面改變圓心角度。由電腦模擬實驗轉盤出現的點數，觀察在此狀況下，各點數出現的次數，多次實驗後，計算其實驗機率及理論機率。
黑白球實驗	配合黑白球程式，可由本模組設定兩組黑白球的數量，或透過「黑白球程式」改變兩組黑白球數量，由電腦模擬從兩組黑白球中，取得黑球或白球，多次實驗後，計算其理論機率及實驗機率。
最大點數	點數可為1～10點，最大點數表示骰子可以有的面數。
實驗次數	設定實驗的次數。
開始	按鈕後，開始指定次數的實驗，呈現每次實驗出現的點數，最後計算理論機率及實驗機率。
Y（N）	按鈕Y後（鈕名變為N），實驗結果欄呈現實驗前1000次的結果；按鈕N後（鈕名變為Y），實驗結果欄不呈現前1000次的實驗結果。
百分率（次數）	按鈕「百分率」後（鈕名變為「次數」），表格秀出的是成功的百分率；按鈕「次數」後（鈕名變為「百分率」），表格秀出的是成功的次數。